Цикл статей "Беседа с психологом". Чем заполнить личное пространство? Платоновы тела и заполнения пространства

Поначалу я хотел назвать статью “Вегетативное размножение гуманоидов”, но передумал. Это как-то чересчур. 🙂

Итак, речь о необычном и редко кем применяемом способе построения композиции. В моей практике стокового инспектора это случалось всего несколько раз, но зато впечатляет. Особенно, если исполнено грамотно.

Посмотрите на заставку. Как видите, две сестры-близняшки мило беседуют, сидя за столиком в кафе. А секрет этой фотографии в том, что на снимке одна и та же модель ! Как это сделать, теоретически понятно: фотоаппарат ставится на штатив, снимается девушка, сидящая на одном стуле, потом она пересаживается на другой стул, и делается второй снимок. А потом эти два кадра склеиваются в фоторедакторе.

Казалось бы, всё просто. Но если попробовать, то я уверен – могут возникнуть сложности. Ведь склейку снимков нужно сделать так, чтобы не было заметно даже малейших признаков обработки.

Могу сказать, что у этого автора я успел заметить целую серию подобных работ. Эта девушка фигурировала на его снимках в разных платьях (то есть в промежутке между двумя снимками ей нужно было переодеться), в разных ролях, например, начальница и её секретарша (нужно было не только переодеться, но и изменить причёску!), и ещё как-то. Короче, у автора креатив работает на полную! Причём прошу заметить, все эти снимки он делал на не белом фоне, что было бы предельно просто, а на природе, на улице, в кафе вот как здесь на заставке… Это сложно, но зато и интересно!

Как это можно использовать? Да вот как раз для заполнения кадра! Я ведь где-то у себя уже писал, что снимать стоковые бизнес-сюжеты можно в одиночку. Я знаю нескольких успешных стоковых авторов, которые так и делают – просто фоткают самих себя. Правда, они это делают под изоляцию, а потом вклеивают позади себя какой-нибудь фон. Но если освоить технику, о которой идёт речь, то сделать можно гораздо больше! Вот, например, что мне пришло в голову навскидку:

Всё это вполне можно снять, используя описанную технику “размножения” модели. А поскольку модель в кадре одна и та же, то в этой роли может выступать сам автор! Какой простор для творчества! 🙂

Со времён древних греков известно пять платоновых тел - правильных многогранников, отличающихся высшей степенью симметрии. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, они изображены на рис. 1.

Легко заполнить одинаковыми кубами всё пространство без пустот и наложений так, чтобы любые два граничащих друг с другом куба пересекались либо по вершине, либо по ребру, либо по грани (рис. 2).

Задача

а) Докажите , что другие платоновы тела такого заполнения пространства не допускают.

б) Придумайте , как заполнить пространство, если можно использовать различные платоновы тела.

Подсказка 1

Предположим, имеется некоторое заполнение пространства платоновыми телами (не обязательно одинаковыми). Рассмотрим ребро одного из них. Тогда сумма двугранных углов многогранников, примыкающих к этому ребру, составляет 360°.

Подсказка 2

Покажите, что двугранные углы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра равны , , и соответственно.

Подсказка 3

Покажите, что пространство можно заполнить тетраэдрами и октаэдрами.

Решение

Рассмотрим сначала заполнение пространства кубами, чтобы понять, каким образом оно получается. Пусть AB - ребро одного из кубов (рис. 3.). Тогда оно является ребром ещё трёх кубов. Чтобы пространство было заполнено без пустот, сумма двугранных углов, ребром которых является AB , должна составлять 2π . Так как двугранный угол куба равен π /2, то сумма четырёх таких углов - в точности то, что нам нужно.

Таким образом, для того чтобы каким-либо платоновым телом можно было замостить пространство указанным в условии задачи способом, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n , где n - некоторое натуральное число, большее двух.

Теперь найдём двугранные углы всех остальных платоновых тел. Убедившись в том, что ни один из них не может быть представлен в виде 2π /n , мы докажем пункт а). Начнём с тетраэдра.

Будем считать, что все стороны тетраэдра ABCD равны 1. Пусть M - середина стороны BC , DH - высота (рис. 4). Тогда точка H является центром грани ABC , а значит, лежит на отрезке AM и делит его в отношении 2: 1, считая от точки A . Учитывая, что AM = DM , отсюда следует, что cos. То есть двугранный угол тетраэдра равен .

Далее рассмотрим октаэдр ABCDEF (рис. 5). Как и в случае тетраэдра, мы будем считать, что длина каждой стороны октаэдра равна 1. Пусть M - середина стороны BF , AH - перпендикуляр, опущенный на плоскость BCF из точки A , H 1 и H 2 - центры граней BCF и ADE соответственно. Тогда AM = CM , AHH 1 H 2 - прямоугольник, а . Кроме того, . Следовательно, и . Таким образом, двугранный угол октаэдра равен .

Прежде чем перейти к икосаэдру и додекаэдру, нам стоит поближе познакомиться с правильным пятиугольником. Пусть в правильном пятиугольнике PQRST диагонали PS и QT пересекаются в точке K (рис. 6). Так как каждый угол правильного пятиугольника равен 3π /5, то углы при основаниях равнобедренных треугольников PST и QTP равны π /5. Значит, углы при основаниях равнобедренных треугольников KPQ и KTS равны 2π /5; в частности, это означает, что любая диагональ правильного пятиугольника делит его на равнобедренный треугольник и трапецию.

Проведём в треугольнике KPQ биссектрису PM . Тогда легко видеть, что KPM = π /5 и PKM = PMK = 2π /5 . Отсюда мы заключаем, что равнобедренные треугольники KTS и KPM подобны. Этот факт позволяет нам выразить все элементы пятиугольника PQRST через длину его стороны.

Действительно, будем считать для простоты, что PQ = 1. Тогда ST = KQ = 1. Обозначим KT через x . Тогда PK = PM = MQ = x , KM = 1 – x . Следовательно, . Преобразовывая это равенство, мы получаем соотношение x 2 + x – 1 = 0, откуда находим .

Теперь легко найти разные элементы. Так, для нас будет иметь значение, что длина диагонали правильного пятиугольника со стороной 1 есть . Другой важный момент - значения тригонометрических функций в точках π /5 и 2π /5. Например,

Кроме того, - это сторона правильного пятиугольника, который высекается, если мы проведём в пятиугольнике PQRST все диагонали.

Перейдём, наконец, к икосаэдру. Для того чтобы найти его двугранный угол, нам достаточно будет рассмотреть «шапочку» икосаэдра - правильную пятиугольную пирамиду ABCDEF . Пусть M - середина стороны AC (рис. 7). Тогда считая, что все стороны пирамиды равны 1, легко получаем , . Согласно теореме косинусов, BD 2 = BM 2 + DM 2 – 2 · BM · DM · cosBMD . Значит,

Таким образом, двугранный угол икосаэдра равен .

Перейдём к додекаэдру. Как со всеми остальными платоновыми телами, будем считать, что длина каждого его ребра равна 1. Введём обозначения так, как указано на рис. 8. Пусть M - середина стороны BC . Тогда искомый угол EMG можно найти, применив теорему косинусов для равнобедренного треугольника EMG . Осталось найти стороны этого треугольника.

Боковые стороны треугольника EMG отыскать несложно. Действительно,

Для того чтобы найти EG , рассмотрим сечение додекаэдра плоскостью DEG (рис. 9). Эта плоскость высекает из додекаэдра шестиугольник DEKLGH , у которого DE = KL = GH = 1 и HD = EK = GL = (как диагональ правильного пятиугольника со стороной 1). Из соображений симметрии ясно, что шестиугольник DEKLGH вписан в окружность, причём DEG = EGH = KHG = π /3 . Отсюда вытекает, что прямые DE и HK параллельны, а треугольник HGI , где I - точка пересечения EG и KH , равносторонний. Значит, GI = GH = 1, а EI = DH = . Таким образом, получаем EG = GI + EI = .

Вернёмся к двугранному углу додекаэдра. Как следует из теоремы косинусов для треугольника EMG , EG 2 = EM 2 + GM 2 – 2 · EM · GM · cosEMG . Значит,

Таким образом, двугранный угол додекаэдра равен .

Теперь мы можем заняться анализом полученных результатов. Как мы уже говорили в самом начале, для того, чтобы копиями некоторого платонова тела можно было заполнить всё пространство без остатка, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n . Значения косинусов углов такого вида, соответствующие значениям n = 2, 3, 4, 5, 6, таковы:

Поскольку на промежутке функция cos x монотонно убывает, то для сравнения углов достаточно сравнить между собой значения их косинусов. Сделаем это.

Двугранный угол тетраэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: < 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.

Двугранный угол октаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Двугранный угол икосаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1 < –√5/3 < –1/2. Значит, 2π /2 > > 2π /3.

Двугранный угол додекаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Таким образом, двугранные углы ни одного платонова тела, кроме куба, не являются углами вида 2π /n . Пункт а) доказан.

Перейдём к пункту б) задачи. Рассмотрим равные октаэдры ABCDEF и PQRCBS , у которых ребро BC общее. Тогда если рёбра BC , DE и QR лежат в одной плоскости, то расстояние между вершинами A и P равно расстоянию между центрами октаэдров (рис. 10). Однако последнее равно длине ребра октаэдра. Значит, в тетраэдре ABCP все стороны равны, и он - правильный.

Это соображение позволяет требуемым образом заполнить пространство тетраэдрами и октаэдрами. Сначала мы складываем из них четырёхгранную трубу (рис. 11). Эта труба в сечении даёт ромб. Однако мы умеем копиями любого четырёхугольника (а тем более - ромба) покрывать плоскость без пробелов и наложений (см. задачу «Замощения»). Поэтому такими трубами всё пространство тоже легко заполняется.

«Круги в круге») и шаров в пространстве. Несмотря на то, что почти все формулировки звучат весьма естественно, подобные задачи довольно сложны, и в большинстве случаев они только ожидают своего решения.

С точки зрения других наук рассматриваемая задача интересна прежде всего, потому, что ответ на неё позволяет предсказать, каково строение кристаллов того или иного вещества, как различные атомы и молекулы соединяются для того, чтобы эти кристаллы образовать. Оказывается, кристаллы в большинстве своём устроены регулярно, что позволяет описать их единообразно при помощи дискретных подгрупп движений пространства. Связь кристаллов и подгрупп движений объясняется следующим образом: для каждой дискретной подгруппы движений пространства можно выделить наибольший связный кусок пространства, никакие две точки которого не могут быть друг в друга переведены каким-либо движением из этой подгруппы. Вообще говоря, таких кусков может быть много; любой из них называется фундаментальной областью подгруппы движений. В том случае, когда фундаментальная область ограничена, дискретная подгруппа движений называется кристаллографической . Это название и объясняет природу связи: молекулы и атомы регулярно устроенных кристаллов зачастую можно рассматривать как фундаментальную область некоторых кристаллографических групп движений.

Количество плоских кристаллографических групп равно 17. В трёхмерном пространстве имеется уже 219 кристаллографических групп. В пространстве размерности 4 количество групп ещё больше: 4783. Каждая такая группа порождает определённое разбиение плоскости или пространства на одинаковые кусочки. Например, разбиение плоскости на равные квадратики, стороны которых равны 1 (клетчатая бумага), порождается кристаллографической группой, состоящей из параллельных переносов на всевозможные векторы вида (m , n ), где m и n — целые числа, а также поворотов на углы π /4, π /2 и 3π /4 относительно центров и вершин квадратиков. Подобной кристаллографической группой порождается заполнение пространства кубами. Регулярному заполнению пространства тетраэдрами и октаэдрами также соответствует кристаллографическая группа — она состоит из всех таких движений, которые переводят заполнение само в себя. Однако ни октаэдр, ни тетраэдр не будут её фундаментальной областью.

При оформлении интерьера окна часто остаются без внимания, максимум, на них меняют шторы или делают замену самих окон. А ведь пространство около них тоже можно использовать максимально практично. Тут действительно есть, где разгуляться, спектр идей настолько велик, что остановиться на чём-то одном мы не смогли и решили предложить сразу 25 чудесных идей для преображения вашего интерьера.

Идеи для детской комнаты

«Пространство около окна в детской комнате.

Пространство около окна в детской комнате.

Систем хранения в детской не бывает много, игрушки заполняют всё пространство и их количество только увеличивается. Если вы не знаете, куда уже их складывать, то этот пункт для вас. Сделайте открытые или закрытые шкафчики вокруг окна, на нём пускай будет мягкий уголок для малыша, а под подоконником – скрытые системы хранения. Такой комплекс смотрится стильно и обязательно понравится ребёнку.

Аккуратное хранение в детской комнате.Хранение домашней библиотеки

Домашняя библиотека.

Бумажные книги занимают немало места в любом интерьере и, обычно, их количество не уменьшается, а только увеличивается. И книгоманы начинают ломать головы, куда складывать любимую литературу, где найти место для домашней библиотеки. Тут-то пространство у окна придётся как раз кстати. Вы можете задействовать верхнюю часть под потолком или организовать хранение книг под подоконником, а если в комнате два окна, то займите всё расстояние между ними и сделайте из него импровизированный книжный шкаф. Ещё одна идея – сделать открытые полки по обе стороны от окна и сложить на них книги.

Аккуратное хранение книг.

Хранение книг под подоконником.

Стильное хранение книг в квартире.

Хранение книг между двумя окнами.

Стильное хранение домашней библиотеки.

Уголок для чтения

Уютное местечко для чтения.

Раз уж речь зашла о книгах то нельзя обойти стороной оформление уголка для чтения. Окно для этих целей подходит идеально. Используйте для этого мягкие напольные подушки, они будут служить в роли сидения, а под спину пойдут и их декоративные собратья. Создайте свой уютный уголок, где будет приятно проводить время в выходной день. На случай, если зачитаетесь и на улице стемнеет, позаботьтесь о том, чтобы неподалёку находился дополнительный источник искусственного освещения.

Место для чтения у окна.

Место для отдыха

Стильное местечко для отдыха.

Когда из окна открывается прекрасный вид, то просто грех не сделать на подоконнике место для отдыха и созерцания. Пускай тут преобладает спокойная цветовая гамма, сидение обязательно оборудуйте мягкое, не забудьте украсить местечко несколькими декоративными подушками, положите поблизости плед. Такая интерьерная композиция будет радовать глаз и наполнит комнату особой атмосферой. К тому же, после напряжённого рабочего дня вы всегда сможете расслабиться и получить эстетическое удовольствие.

Место для отдыха.

Самое уютное местечко в доме.

Красивый уголок для отдыха.

Аккуратно и стильно.

Домашний офис

Домашний офис у окна.

Удачное решение – организовать у окна рабочую зону. Подоконник используйте, как столешницу или поставьте у него приставной столик, сделайте удобные полки для хранения бумаг и канцелярских принадлежностей. Не забудьте подобрать стул комфортной высоты и не вешайте на окно штор, они будут препятствовать проникновению естественного света в комнату.

Зона столовой

Зона столовой у окна.

Когда стаёт вопрос о поиске места для столовой зоны, обратите свой взор на окно и пространство около него, особенно, если рядом с ним есть свободный угол. Тут отлично разместится угловой уголок или несколько удобных стульев/кресел. Выбирайте для этой зоны лаконичную и предельно простую мебель светлых оттенков. Так столовая будет казаться более уютной.

Угловая столовая у окна.

Уютная мини-столовая.

Окно на кухне

Практичное использование окна на кухне.

Окно на кухне – находка для хозяйки, мало того, что подоконник можно использовать в роли рабочей зоны, так ещё и задействовать пространство у окна. Организуйте открытые полки и поставьте туда посуду, кастрюли, крупы и специи в банках.

В ванной комнате

Хранение на окне в ванной.

Если в ванной комнате имеется окно – это большая удача. Используйте его по максимуму, например, храните здесь чистые банные полотенца. А если сделать несколько полок, то с лёгкостью сможете расположить тут средства личной гигиены или туалетную бумагу.

В гардеробной комнате

Использование пространства около окна в гардеробной комнате.

Окно в гардеробной тоже можно применить с пользой. Расположите по обеимего сторонам удобные открытые ниши, туда поставьте любимые сумки или туфли, которые всегда должны быть в минутной доступности. Не забывайте периодически протирать их от пыли, чтобы они не потеряли презентабельный вид.

Системы хранения в спальне

Системы хранения в спальне.

В спальне также пригодятся открытые системы хранения. Здесь удобно хранить домашнюю одежду, постельное бельё, полотенца, предметы личной гигиены, книги. Для аккуратного хранения используйте вспомогательные аксессуары – коробы, пластиковые боксы, плетёные корзины.
Для эстетического удовольствия
Пространство около окна можно использовать не только в практичных целях, но и сделать из него некий стенд для экспозиции красивого декора. Это могут быть сувениры, привезённые из путешествий, коллекция фарфоровых фигурок, фарфор, вазы и всё, что радует глаз. Главное, не перегружайте полки, оставьте немного свободного пространства для эффекта воздушного интерьера.

→ Заполняем пустое пространство. Почеркушки и путанки.

Прошлый раз я рассказывала про раскраски для взрослых, тема этого блога – заполнение пустого пространства листа и такие методики (техники) рисования как Зентангл, Дудлинг и их разновидности.

Первая техника Зентангл. Во-первых, определимся что же такое Зентангл. Зентангл – это зарегистрированное (или запатентованное как бренд) понятие, обозначающее методику медитативного рисования. Методика создана более десяти лет назад американцами художником-шрифтовиком Марией Томас и Риком Робертсом, которое долгое время был монахом. В словаре нет как такового определения этого слова. Но оно состоит из двух частей – «зен» и «тангл». «Зен» - это «дзен» (как «дзен-буддизм») – полная форма просветления. А «тангл» - переводиться как «сплетение», «спутанный клубок», «беспорядок». Получается, что Зентангл – это абстрактный рисунок, создающийся на основе повторяющихся узоров. При этом человек при рисовании достигает максимального расслабления схожего с медитацией. Еще Зентангл называют дзен-графикой или медитативным рисованием. Собственно Зентангл – это прежде всего погружение в сам процесс рисования. Концентрация на каждой линии. Рисунок – одновременно и спланированный и стихийный. Спланированный потому, что используются особые узоры-танглы (танглами называют как отдельные узоры, так и готовые рисунки), рисуемые пошагово по известной схеме, состоящие из ограниченного количества элементов. Спонтанный – потому, что комбинация танглов и конкретное исполнение заранее не планируется. Вообщем главное в Зентангле это то, что процесс важнее результата.

Если Вам хочется узнать Зентангле, то опять советую совершенно уникальный сайт Риты Николаевой: http://dotslinespatterns.com/category/zentangle-%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B1%D0%B5%D0%B7/

И вот этот замечательный сайт. Информация очень обширна и подробна: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C-%D0%97%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB

Наша вторая техника – Дудлинг (или Зендудлинг). Или Дудл. В отличие от Зентангла это бессознательный рисунок, незапланированный и стихийно развивающийся. Дудлинг возникает тогда, когда мы концентрируемся на чем-то другом, обычно связанным со слушаньем. Рисунок состоит из простых элементов - кружочков, закорючек, ромбиков, точечек, палочек и прочих. Однако из этих простых элементов могут складываться сложнейшие композиции, поражающие воображение. Они могут мыть каляками-маляками, а могут быть и весьма сложными и художественно наполненными.

У Дудлинга есть два положительных момента:

- Дудлинг как бессознательный рисунок, позволяющий «отключить мозг», что открывает дорогу чистому творчеству, не скованному правилами.

- Дудлинг парадоксальным образом не отвлекает, а помогает удерживать внимание рисующего.

Есть даже целое направление, основанное на Дудлинге – это арт-буки, но о них я расскажу в следующий раз.

Третья техника – это Зенарт (или ZIA) – Зенартом считается любое отступление от правил рисования – рисование цветными фломастерами, или раскрашивание рисунка цветом или использование бумаги большого формата или плотности, альбома например. Также Зенартом считается, если нарисовать танглами что-то конкретное: розу, ежика, сову. Или же рисовать вообще не на бумаге оформление стен или же тканевой сумки.

При оформлении интерьера окна часто остаются без внимания, максимум, на них меняют шторы или делают замену самих окон.

А ведь пространство около них тоже можно использовать максимально практично.

Тут действительно есть, где разгуляться, спектр идей настолько велик, что остановиться на чём-то одном мы не смогли и решили предложить сразу 25 чудесных идей для преображения вашего интерьера.