В начале этой главы мы говорили, что энергия, как и импульс, сохраняется. Однако когда мы рассматривали кинетическую и потенциальную энергии, об их сохранении ничего не говорилось. В чем же состоит закон сохранения энергии?
Рассмотрим, как изменяется энергия тел, взаимодействующих только друг с другом. Такие системы, как мы знаем, называются замкнутыми. Такая система может обладать и кинетической и потенциальной энергией. Кинетической - потому, что тела системы могут двигаться, потенциальной - потому, что тела системы взаимодействуют друг с другом. И та и другая энергия системы может изменяться с течением времени.
Обозначим через E р1 потенциальную энергию системы в какой-то момент времени, а через E k 1 общую кинетическую энергию системы тел в тот же момент времени. Потенциальную и кинетическую энергии этих же тел в какой-нибудь другой момент времени обозначим соответственно через Е Р2 и E k 2
В предыдущих параграфах мы установили, что, когда тела взаимодействуют друг с другом силами тяжести или упругости, совершенная этими силами работа равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии тел системы:
С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии, эта же работа равна изменению кинетической энергии:
A = E k2 – E k1 (2)
Энергия превращается из одного вида в другой.
В левых частях равенств (1) и (2) стоит одна и та же величина - работа сил взаимодействия тел системы. Значит, и правые части равны друг другу:
E k2 - E k 1 = - (Ep 2 - Ep 1). (3)
Из этого равенства видно, что кинетическая и потенциальная энергия в результате взаимодействия и движения тел изменяется так, что увеличение одной из них равно уменьшению другой. На сколько одна из них возрастает, на столько другая уменьшается. Дело выглядит так, как будто бы происходит превращение одного вида энергии в другой. В этом состоит важная особенность величины, называемой энергией: есть различные формы энергии, и они могут превращаться одна в другую. Но ни об одной из них нельзя сказать, что она сохраняется.
Полная механическая энергия. Закон сохранения полной механической энергии.
Если из двух видов энергии один уменьшается ровно на столько, на сколько увеличивается другой, то это значит, что сумма энергий обоих видов остается неизменной. Это видно из формулы (3), которую можно переписать так:
E k 2 + Ep 2 = E k 1 + Ep 1 . (4)
В левой части равенства мы видим сумму кинетической и потенциальной энергий системы тел в какой-то момент времени, в правой - ту же сумму в другой момент времени. Эта сумма называется полной механической энергией системы. Для системы тел, в которой действует сила тяжести, например для системы «Земля - падающее тело» или «Земля - тело, брошенное вверх», она равна mgh+mv 2 /2 .
Если между телами системы действует сила упругости, то полная механическая энергия запишется так:
kx 2 /2 + mv 2 /2
Равенство (4) означает, что полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной, сохраняется. В этом состоит закон сохранения энергии.
Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается неизменной при любых движениях тел системы.
Превращения энергии и работа.
Тот факт, что одна и та же работа приводит к увеличению кинетической или к такому же уменьшению потенциальной энергии, означает, что работа равна энергии, превратившейся из одного вида в другой. Мы видели, например, что положительная работа силы равна уменьшению потенциальной энергии. Но, согласно закону сохранения полной энергии, потенциальная энергия не может уменьшаться, не превратившись в энергию кинетическую!
Закон сохранения энергии, как и закон сохранения импульса, можно использовать для решения многих механических задач. Этим способом многие задачи решаются более просто, чем при прямом применении законов движения.
1. Что такое полная механическая энергия?
2. В чем состоит закон сохранения механической энергии?
3. Выполняется ли закон сохранения механической энергии, если действуют одновременно и сила тяжести и упругая сила?
4. Как влияет на энергию системы тел действие внешней силы? Сохраняется ли в этом случае полная механическая энергия? 5. Спутник вращается по орбите вокруг Земли. С помощью ракетного двигателя его перевели на другую орбиту. Изменилась ли его механическая энергия?
Суммарная механическая энергия системы () — это энергия механического энергия и взаимодействия:
где — кинетическая энергия тела; — потенциальная энергия тела.
Закон сохранения энергии создан в результате обобщения эмпирических данных. Идея такого закона принадлежала М.В. Ломоносову, который представил закон сохранения материи и движения. Количественно закон сформулировали немецкий врач Ю. Майер и ученый — естествоиспытатель. Гельмгольц.
Формулировка закона сохранения механической энергии
Если в системе тел действуют исключительно силы, которые являются консервативными, то суммарная механическая энергия остается неизменной во времени. (Консервативными (потенциальными) называют силы, работа которых не зависит: от вида траектории, точки к которой приложены данные силы, закона, который описывает движение этого тела, и определено исключительно начальной и конечной точками траектории движения тела (материальной точки)).
Механические системы, в которых действуют исключительно консервативные силы, называют консервативными системами.
Еще одной формулировкой закона сохранения механической энергии считают следующую:
Для консервативных систем суммарная механическая энергия системы величина неизменная.
Математическая формулировка закона сохранения механической энергии имеет вид:
Значение закона сохранения механической энергии
Данный закон связан со свойством однородности времени. Что означает инвариантность законов физики относительно выбора начала временного отсчета.
В диссипативных системах механическая энергия уменьшается, так как происходит преобразование механической энергии в немеханические ее виды. Такой процесс называют рассеянием (диссипацией) энергии.
В консервативных системах полная механическая энергия постоянна. Происходят переходы кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Следовательно, закон сохранения механической энергии отражает не только сохранение энергии количественно, но указывает на качественную сторону взаимного превращения разных форм движения друг в друга.
Закон сохранения и превращения энергии является фундаментальным законом природы. Он выполняется и в макро и микро мире.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Тело массы упало с высоты на площадку, прикрепленную к пружине с коэффициентом упругости (рис.1). Каково смещение пружины ()?
|
| Решение | За ноль потенциальной энергии примем положение площадки до падения на нее груза. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту ,переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Запишем закон сохранения энергии системы тело — пружина:
Получили квадратное уравнение: Решая квадратное уравнение получим:
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Объясните, почему говорят о всеобщем характере закона сохранения энергии, но известно, что при наличии неконсервативных сил в системе механическая энергия убывает. |
| Решение | Если сил трения в системе нет, то закон сохранения механической энергии выполняется, то есть полная механическая энергия не изменяется во времени. При действии сил трения, механическая энергия убывает, но при этом увеличивается внутренняя энергия. С развитием физики как науки были обнаружены новые виды энергии (световая энергия, электромагнитная энергия, химическая энергия, ядерная энергия). Было выяснено, что если над телом совершается работа, то она равна приращению суммы всех видов энергии тела. Если тело само совершает работу, над другими телами, то эта работа равна убыли суммарной энергии этого тела. Все виды энергии переходят из одного вида в другой. Причем, при всех переходах суммарная энергия остается неизменной. В этом и состоит всеобщность закона сохранения энергии. |
Представьте себе ревущий водопад. Грозно шумят мощные потоки воды, искрятся на солнце капли, белеет пена. Красиво, не правда ли?
Превращение одного вида механической энергии в другой
А как вы считаете, обладает ли эта несущаяся вниз стихия энергией? Никто не будет спорить с тем, что да. А вот какой энергией будет обладать вода - кинетической или потенциальной? И вот тут оказывается, что ни первый, ни второй варианты ответа не будут верны. А верным окажется ответ - падающая вниз вода обладает обоими видами энергии. То есть, одно и то же тело может обладать обоими видами энергии. Их сумму называют полной механической энергией тела: E=E_к+E_п. Более того, вода в данном случае не только обладает обоими видами энергии, но их величина меняется по ходу движения воды. Когда наша вода находится в верхней точке водопада и еще не начала падать, то она обладает максимальным значением потенциальной энергии. Кинетическая же энергия в данном случае равна нулю. Когда вода начинает падать вниз, у нее появляется кинетическая энергия движения. По ходу движения вниз потенциальная энергия уменьшается, так как уменьшается высота, а кинетическая, наоборот, возрастает, так как увеличивается скорость падения воды. То есть, происходит превращение одного вида энергии в другой. При этом полная механическая энергия сохраняется. В этом и заключается закон сохранения и превращения энергии.
Закон сохранения полной механической энергии
Закон сохранения полной механической энергии гласит: полная механическая энергия тела, на которое не действуют силы трения и сопротивления, в процессе его движения остается неизменной. Когда же присутствует, например, трение скольжения, тело вынуждено тратить часть энергии на его преодоление, и энергия, естественно будет уменьшаться. Поэтому в реальности, при передаче энергии практически всегда существуют потери, которые приходится учитывать.
Закон сохранения энергии можно представить в виде формулы. Если мы обозначим начальную и конечную энергию тела как E_1 и E_2, то закон сохранения энергии можно выразить так: E_1=E_2. В начальный момент времени тело имело скорость v_1 и высоту h_1:
E_1=(mv_1^2)/2+mgh_1.
В конечный момент времени со скоростью v_2 на высоте h_2 энергия
E_2=(mv_2^2)/2+mgh_2.
В соответствии с законом сохранения энергии:
(mv_1^2)/2+mgh_1=(mv_2^2)/2+mgh_2.
Если мы знаем начальные значения скорости и энергии, то мы можем высчитать конечную скорость на высоте h, или, наоборот, найти высоту, на которой тело будет иметь заданную скорость. При этом масса тела не имеет значения, так как она сократится из уравнения.
Энергия также может передаваться от одного тела к другому. Так, например, при выпуске стрелы из лука потенциальная энергия тетивы, превращается в кинетическую энергию летящей стрелы.
Механическую, ядерную, электромагнитную, и т.д. Однако пока будем рассматривать только одну ее форму - механическую. Тем более что с точки зрения истории развития физики, она начиналась с изучения сил и работы. На одном из этапов становления науки был открыт закон сохранения энергии.
При рассмотрении механических явлений используют понятия кинетической и Экспериментально установлено, что энергия не исчезает бесследно, из одного вида она превращается в другой. Можно считать, что сказанное в самом общем виде формулирует закон сохранения
Сначала надо отметить, что в сумме потенциальная и тела называются механической энергией. Далее необходимо иметь в виду, что закон сохранения справедлив при отсутствии внешнего воздействия и дополнительных потерь, вызванных, например, преодолением сил сопротивления. Если какое-то из этих требований нарушено, то при изменении энергии будут происходить ее потери.
Самый простой эксперимент, подтверждающий указанные граничные условия, каждый может провести самостоятельно. Поднимите мячик на высоту и отпустите его. Ударившись об пол, он подскочит и потом опять упадет на пол, и опять подскочит. Но с каждым разом высота его подъема будет меньше и меньше, пока мяч не замрет неподвижно на полу.
Что мы видим в этом опыте? Когда мяч неподвижен и находится на высоте, он обладает только потенциальной энергией. Когда начинается падение, у него появляется скорость, и значит, появляется кинетическая энергия. Но по мере падения высота, с которой началось движение, становится меньше и, соответственно, становится меньше его потенциальная энергия, т.е. она превращается в кинетическую. Если провести расчёты, то выяснится, что значения энергии равны, а это означает, что закон сохранения энергии при таких условиях выполняется.
Однако в подобном примере есть нарушения двух ранее установленных условий. Мяч движется в окружении воздуха и испытывает сопротивление с его стороны, пусть и небольшое. И энергия затрачивается на преодоление сопротивления. Кроме того, мяч сталкивается с полом и отскакивает, т.е. он испытывает внешнее воздействие, а это второе нарушение граничных условий, которые необходимы, чтобы закон сохранения энергии был справедлив.
В конце концов скачки мяча прекратятся, и он остановится. Вся имеющаяся первоначальная энергия окажется потраченной на преодоление сопротивления воздуха и внешнего воздействия. Однако кроме превращения энергии окажется выполненной работа по преодолению сил трения. Это приведёт к нагреванию самого тела. Зачастую величина нагрева не очень значительная, и ее можно определить только при измерении точными приборами, но подобное изменение температуры существует.
Кроме механической, есть и другие виды энергии - световая, электромагнитная, химическая. Однако для всех разновидностей энергии справедливо, что из одного вида возможен переход в другой, и что при таких превращениях суммарная энергия всех видов остаётся постоянной. Это является подтверждением всеобщего характера сохранения энергии.
Здесь надо учесть, что переход энергии может означать и её бесполезную потерю. При механических явлениях свидетельством этого будет нагрев окружающей среды или взаимодействующих поверхностей.
Таким образом, простейшее механическое явление позволило нам определить закон сохранения энергии и граничные условия, обеспечивающие его выполнение. Была установлено, что осуществляется преобразование энергии из имеющегося вида в любой другой, и выявлен всеобщий характер упомянутого закона.
